Вписанная и описанная окружности.
Окружность- геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки(центра). Радиус- отрезок соединяющий центр окружности с какой либо точкой на окружности. Хорда
Вписанная окружность:
Если окружность касается всех трех сторон треугольника то она называется вписанной. В каждый треугольник можно вписать окружность, притом ровно одну. Ее центр- это точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказательство:
Пусть окружность W вписана в угол (a,b) с вершиной А. пусть В и С- точки касания окружности с прямыми b и a соответственно. Соединим точки В и С с центром окружности (О). (ОВ) перпендикулярно b (ОС) перпендикулярно a ОВ=ОС=R. Таким образом точка О равноудалена от сторон угла на расстояние, равное радиусу окружности и через нее проходит биссектриса. Теперь построим треугольник АМN. По определению окружность вписана в каждый из углов данного треугольника и центр треугольника лежит на пересечение биссектрис. Следовательно точка О лежит на пересечении всех трех биссектрис. Теорема доказана.
Площадь этого треугольника можно вычислить как произведение его полупериметра на радиус вписанной окружности.
Описанная окружность:
Если все вершины треугольника лежат на окружности, то то окружность называется описанной. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и при том только одну. Ее центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров( у острого треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного- вне треугольника, а у прямоугольного на середине гипотенузы.
Доказательство:
Пусть a и b – серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC треугольника ABC, а точка О- точка их пересечения. Из свойств серединного перпендикуляра следует, что АО=ОС=ОВ. Следовательно, тоска О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ. Таким образом серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, кроме того их точка пересечения равноудалена от вершин треугольника, а следовательно она и является центром описанной окружности. Что и требовалось доказать.
Радиус описанной окружности можно рассчитать по формулам: R=abc/4S = a/2sinL=p/4cosL/2cosB/2cosC/2. Где a,b,c- стороны треугольника. L- угол лежащий против стороны a, p-полупериметр, B-угол лежащий против стороны b, C- угол лежащий против стороны c.
Начала Евклида- научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. До н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и т.д. Евклид в этом сочинении подвел итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. Начала Евклида были построены по такой системе: вначале приводились определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательство. Начала Евклида насчитывают 13 книг и в своей четвертой книге, Евклид решает задачу: “ вписать круг в данный треугольник”.